Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 7671 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 33855 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 25-Φεβ-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 33855
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 25-Φεβ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

α) Θεωρούμε την εξίσωση x2+2x+3=α, με παράμετρο αR.

  1. Να βρείτε για ποιες τιμές του α η εξίσωση x2+2x+3=α έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.
    (Μονάδες 6)

  2. Να βρείτε την τιμή του α ώστε η εξίσωση να έχει μια διπλή ρίζα, την οποία και να προσδιορίσετε.
    (Μονάδες 6)

β) Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x2+2x+3, xR.

  1. Να αποδείξετε ότι f(x)2 για κάθε xR.
    (Μονάδες7)

  2. Να λύσετε την ανίσωση f(x)22.
    (Μονάδες 6)

ΛΥΣΗ

α) Η εξίσωση x2+2x+3=α ισοδύναμα γράφεται:

x2+2x+3α=0    (1)

και έχει διακρίνουσα:

Δ=β24αγ=2241(3α)= =412+4α=4α8

  1. Η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες αν και μόνο αν:

Δ>0 4α8>0 4α>8 α>2

  1. Η εξίσωση (1) έχει μια διπλή ρίζα αν και μόνο αν:

    Δ=0 4α8=0 4α=8 α=2

    Για α=2 η διπλή ρίζα είναι η:

    x=β2α =22=1

β)

  1. Είναι:

    f(x)2 x2+2x+32 x2+2x+10 (x+1)20

    το οποίο ισχύει για κάθε xR.

  2. Από το ερώτημα β)i. έχουμε ότι:

    f(x)2 f(x)20

    για κάθε xR. Οπότε ισοδύναμα έχουμε:

    f(x)22 (f(x)2)222 f(x)24 f(x)6 x2+2x+36 x2+2x30

    Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:

    Δ=β24αγ =2241(3) =4+12=16>0

    και ρίζες τις:

    x1,2=β±Δ2α =2±162 ={2+42=1243=3

    Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

    Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

    x2+2x30 3x1 x[3,1]