ΛΥΣΗ

α) Αφού \((α-1)(1-β)>0\), οι \((α-1)\) και \((1-β)\) είναι ομόσημοι, οπότε:

$$\begin{cases} α-1>0 \\ \text{και} \\ 1-β>0 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α>1 \\ \text{και} \\ β<1 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow β<1<α$$

ή

$$\begin{cases} α-1<0 \\ \text{και} \\ 1-β<0 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α<1 \\ \text{και} \\ β>1 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow α<1<β$$

Σε κάθε περίπτωση το \(1\) είναι μεταξύ των \(α\) και \(β\).

β) Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:

1. Αν \(β<1<α\), τότε:
   \(0<α-1 \Rightarrow |α-1|=α-1\),
   \(0<1-β \Rightarrow |1-β|=1-β\) και
   \(β-α<0 \Rightarrow |β-α|=α-β\) άρα,
   \(|β-α|=4 \Leftrightarrow α-β=4\).
   Οπότε: \(Κ=|α-1|+|1-β|=α-1+1-β=α-β=4\).

2. Αν \(α<1<β\), τότε:
   \(α-1<0 \Rightarrow |α-1|=1-α\),
   \(1-β<0 \Rightarrow |1-β|=β-1\) και
   \(β-α>0 \Rightarrow |β-α|=β-α\) άρα,
   \(|β-α|=4 \Leftrightarrow β-α=4\).
   Οπότε: \(Κ=|α-1|+|1-β|=1-α+β-1=β-α=4\).