ΛΥΣΗ

α) Το εμβαδόν του ορθογωνίου με διαστάσεις \(α\) και \(β\) είναι:

$$Ε=α\cdot β\ \ \ \ (1)$$

Οι αριθμοί \(α\), \(Ε\), \(β\), με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν \(Ε^{2}=α\cdot β\), οπότε λόγω \((1)\):

$$Ε^{2}=Ε$$

Δηλαδή:

$$Ε^{2}-Ε=0$$

Οπότε:

$$Ε(Ε-1)=0$$

Και επειδή \(Ε\ne 0\):

$$Ε=1$$

β)

1. Το άθροισμα των ριζών της ζητούμενης εξίσωσης είναι \(S=α+β=10\) και το γινόμενο των ριζών είναι \(P=αβ=Ε=1\). Άρα μια εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες \(α\) και \(β\) είναι η:

$$x^{2}-Sx+P=0 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-10x+1=0$$

2. Το τριώνυμο \(x^{2}-10x+1\) έχει διακρίνουσα \(Δ=(-10)^{2}-4\cdot 1\cdot 1=96>0\), οπότε η εξίσωση \(x^{2}-10x+1=0\) έχει δύο ρίζες διαφορετικές, τις:

$$x_{1}=\dfrac{-(-10)-\sqrt{96}}{2}$$ $$=\dfrac{10-\sqrt{16\cdot 6}}{2}$$ $$=\dfrac{10-4\sqrt{6}}{2}$$ $$=5-2\sqrt{6}>0$$

$$x_{2}=\dfrac{-(-10)+\sqrt{96}}{2}$$ $$=\dfrac{10+\sqrt{16\cdot 6}}{2}$$ $$=\dfrac{10+4\sqrt{6}}{2}$$ $$=5+2\sqrt{6}>0$$

Άρα οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι \(α=5-2\sqrt{6}\) και \(β=5+2\sqrt{6}\).