Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 6199 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34186 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Οκτ-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 34186
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Οκτ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Οι πλευρές x1 και x2 ενός ορθογωνίου είναι ρίζες της εξίσωσης x22x+λ(2λ)=0, με λ(0,2).

α) Να βρείτε

  1. την περίμετρο Π του ορθογωνίου.
    (Μονάδες 6)

  2. το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου ως συνάρτηση του λ.
    (Μονάδες 6)

β) Να δείξετε ότι Ε1, για κάθε λ(0,2).
(Μονάδες 7)

γ) Να βρείτε την τιμή του λ(0,2) για την οποία το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με 1. Τι μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο;
(Μονάδες 6)

ΛΥΣΗ

α) Η εξίσωση x22x+λ(2λ)=0 έχει ρίζες x1 και x2 με άθροισμα:

S=x1+x2=21=2

και γινόμενο:

P=x1x2=λ(2λ)1=λ(2λ)

  1. H περίμετρος Π του ορθογωνίου είναι:

    Π=2x1+2x2 =2(x1+x2) =22=4

  2. Tο εμβαδόν Ε του ορθογωνίου ως συνάρτηση του λ είναι:

    Ε=x1x2=λ(2λ),λ(0,2)

β) Έχουμε:

Ε1 λ(2λ)1 λ22λ+10 (λ1)20

που ισχύει για κάθε λ(0,2).

γ) Το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με 1, αν και μόνο αν:

Ε=1 (β)(λ1)2=0 λ=1

Για λ=1, η περίμετρος του ορθογωνίου είναι 4 και το εμβαδόν του 1, οπότε το ορθογώνιο γίνεται τετράγωνο πλευράς x1=x2=1.