Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5382 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34322 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 03-Νοε-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 34322
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 03-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Μια υπολογιστική μηχανή έχει προγραμματιστεί έτσι ώστε, όταν εισάγεται σε αυτήν ένας πραγματικός αριθμός x, να δίνει ως εξαγόμενο τον αριθμό λ που προκύπτει από τη σχέση:

λ=(2x+5)28x    (1)

α) Αν ο εισαγόμενος αριθμός x είναι ο 5, ποιος είναι ο εξαγόμενος αριθμός λ;
(Μονάδες 4)

β) Αν ο εξαγόμενος αριθμός λ είναι ο 20, ποιος είναι ο εισαγόμενος αριθμός x;
(Μονάδες 6)

γ)

  1. Να δείξετε ότι η σχέση (1) μπορεί ισοδύναμα να γραφεί στη μορφή:

    4x2+12x+(25λ)=0

    (Μονάδες 2)

  2. Να αποδείξετε ότι οποιαδήποτε τιμή και να έχει ο εισαγόμενος αριθμός x, ο εξαγόμενος αριθμός λ δεν μπορεί να είναι ίσος με 5.
    (Μονάδες 6)

  3. Να προσδιορίσετε τις δυνατές τιμές που μπορεί να έχει ο εξαγόμενος αριθμός λ.
    (Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ

α) Αντικαθιστούμε στην δοθείσα ισότητα x=5 και βρίσκουμε:

λ=(2(5)+5)28(5) =(10+5)2+40 =(5)2+40 =25+40=65

β) Αντικαθιστούμε στην δοθείσα ισότητα λ=20 και έχουμε:

20=(2x+5)28x

ή ισοδύναμα:

20=4x2+20x+258x

και τελικά:

4x2+12x+5=0

Το τριώνυμο 4x2+12x+5 έχει διακρίνουσα:

Δ=122445 =14480=64>0

και ρίζες:

x1,2=12±6424 =12±88 ={12+88=121286=52

γ)

  1. Η σχέση (1) ισοδύναμα γράφεται:

    λ=(2x+5)28x λ=4x2+20x+258x 4x2+12x+(25λ)=0    (2)

  2. Για να μπορεί ο εξαγόμενος αριθμός λ να είναι 5, με βάση τη σχέση (2) θα πρέπει να υπάρχει x τέτοιος ώστε:

    4x2+12x+(255)=0 4x2+12x+20=0 x2+3x+5=0

    Το τριώνυμο x2+3x+5 έχει διακρίνουσα Δ=32415=920=11<0. Άρα, η τελευταία εξίσωση είναι αδύνατη. Οπότε, για καμία τιμή του x δεν μπορεί ο εξαγόμενος αριθμός λ να είναι 5.

  3. Οι δυνατές τιμές που μπορεί να έχει ο αριθμός λ, είναι αυτές για τις οποίες η εξίσωση (2) έχει πραγματικές ρίζες. Αυτό ισχύει αν και μόνο αν Δ0 όπου Δ η διακρίνουσα του τριωνύμου 4x2+12x+(25λ). Οπότε, ισοδύναμα έχουμε ότι:

Δ0 12244(25λ)0 144400+16λ0 16λ256 λ16