α) i. Από το πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει ότι για τη διαγώνιο $\delta$ ενός τετραγώνου πλευράς $x$ ισχύει:

$${\delta }^2=x^2+x^2$$ $$⟺{\delta }^2=2x^2$$ $$⟺\sqrt{{\delta }^2}=\sqrt{2x^2}$$

και επειδή $\delta ,x>0$ προκύπτει ότι $\delta =\sqrt{2}x$.
ii. Από το ερώτημα (α.i) προκύπτει ότι αν ένα από τα τετράγωνα της ακολουθίας έχει πλευρά $x$ το επόμενό του έχει πλευρά $\sqrt{2}x$ και τα αντίστοιχα εμβαδά είναι $x^2$ και $(\sqrt{2}x{)}^2=2x^2$. Άρα, ο λόγος $\lambda$ των εμβαδών δύο διαδοχικών τετραγώνων δίνεται από τη σχέση

$$\lambda =\frac{2x^2}{x^2}=2$$

και είναι σταθερός. Οπότε, τα εμβαδά των τετραγώνων είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με λόγο $\lambda =2$ και πρώτο όρο ${\alpha }_1={\alpha }^2$.
Ο γενικός όρος της προόδου δίνεται από τη σχέση

$${\alpha }_{\nu }={\alpha }_1{\lambda }^{\nu -1}={\alpha }^2{2}^{\nu -1}.$$

β)

1. Ισχύει ότι

$$\begin{array}{rl}& {\alpha }_4=8\\ ⟺& {\alpha }^2{2}^{4-1}=8\\ ⟺& {\alpha }^2\cdot 8=8\\ ⟺& {\alpha }^2=1\\ \stackrel{\alpha >0}{⟺}& \alpha =1.\end{array}$$

2. Το άθροισμα των $\nu$ πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου δίνεται από τη σχέση:

$$\begin{array}{rl}{S}_{\nu }& ={\alpha }_1\frac{{\lambda }^{\nu }-1}{\lambda -1}\\ & =1\cdot \frac{2^{\nu }-1}{2-1}\\ & =2^{\nu }-1.\end{array}$$

Για να είναι το συνολικό εμβαδών των αρχικών τετραγώνων ίσο με $255$ τ.μ. πρέπει να ισχύει:

$$\begin{array}{rl}& S_{\nu }=255\\ ⟺& 2^{\nu }-1=255\\ ⟺& 2^{\nu }=256\\ ⟺& 2^{\nu }=2^8\\ ⟺& \nu =8.\end{array}$$

Άρα, το πλήθος των τετραγώνων που έχουν συνολικό εμβαδόν $255$ τ.μ. είναι $8$.