Λύση

α) Για $x\ge -1$ είναι $x+1\ge 0$, οπότε:

$$|x+1|+2=x+1+2$$ $$=x+3$$

Για $x<-1$ είναι $x+1<0$, οπότε:

$$|x+1|+2=-(x+1)+2$$ $$=-x-1+2$$ $$=1-x$$

Άρα, τελικά ${\rm K}=\{\begin{array}{ll}x+3\text{,}& \text{αν}x\ge -1\\ 1-x\text{,}& \text{αν}x<-1\end{array}$

β)
i. Είναι:

$$|x-2|=4$$ $$\iff \{\begin{array}{l}x-2=4\\ \text{ή}\\ x-2=-4\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}x=6\\ \text{ή}\\ x=-2\end{array}$$

ii.
Για $x=6>-1$ είναι ${\rm K}=6+3=9$.
Για $x=-2<-1$ είναι ${\rm K}=1-(-2)=1+2=3$.