α) Καθώς είναι \(2=\sqrt{4}\), αρκεί να αποδείξουμε ότι \(\sqrt{4}<\sqrt{5}\), το οποίο όμως είναι αληθές αφού \(4<5\).

β) Εφαρμόζοντας την ταυτότητα του τετραγώνου διαφοράς, παίρνουμε

\begin{align} (2 -\sqrt{5})^{2} & =2^{2}- 2\cdot \sqrt{5}\cdot 2+(\sqrt{5})^{2}\\ & =5 - 4\sqrt{5}+4\\ &=9 - 4\sqrt{5}\end{align}

γ) Με χρήση των ερωτημάτων α) και β) έχουμε:

\begin{align} \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} &=\sqrt{(2 -\sqrt{5})^{2}}\\ & =|2 -\sqrt{5}| \\ & =\sqrt{5} – 2 \end{align}

αφού \(2<\sqrt{5} \Leftrightarrow 2 -\sqrt{5}<0.\)