ΛΥΣΗ

α) Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς $x$ των οποίων η απόσταση από το $4$ είναι δύο μονάδες μεγαλύτερη από την απόστασή τους από το $2$. Δηλαδή:

$$d(x,4)-d(x,2)=2$$

β) Έστω ότι τα σημεία ${\rm M}$, ${\rm A}$, ${\rm B}$ αναπαριστούν στον άξονα των πραγματικών αριθμών, τους αριθμούς $x$, $2$, $4$ αντίστοιχα, όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα.

Παρατηρούμε ότι $d(2,4)=({\rm A}{\rm B})=2$.

Για κάθε αριθμό $x\in (-\infty ,2]$ είναι $d(x,4)-d(x,2)=({\rm M}{\rm B})-({\rm M}{\rm A})=({\rm A}{\rm B})=2$.

Για κάθε αριθμό $x\in (2,4]$ είναι:

$$d(x,4)-d(x,2)<d(x,4)+d(x,2)$$ $$=({\rm M}{\rm B})+({\rm M}{\rm A})=({\rm A}{\rm B})=2$$

και άρα:

$$d(x,4)-d(x,2)\ne 2$$

Για κάθε αριθμό $x\in (4,+\infty )$ είναι $({\rm M}{\rm B})<({\rm M}{\rm A})$ οπότε $d(x,4)<d(x,2)$ δηλαδή $d(x,4)-d(x,2)<0$ και άρα $d(x,4)-d(x,2)\ne 2$.

γ) όπως δείξαμε στο β), αν για τον πραγματικό αριθμό ισχύει $x$ ότι $|x-4|-|x-2|=2$, τότε $x\in (-\infty ,2]$.

Το τριώνυμο $x^2-6x+8$ έχει ρίζες τους αριθμούς $2$ και $4$ και γίνεται μη αρνητικό για $x\in (-\infty ,2]\cup [4,+\infty )$.

Συνεπώς αν για τον πραγματικό αριθμό $x$ ισχύει ότι $|x-4|-|x-2|=2$, τότε $x\in (-\infty ,2]$ και $x^2-6x+8\ge 0$.