ΛΥΣΗ

α) Η εταιρεία ${\rm E}1$ κοστολογεί με $200$ ευρώ κάθε μέτρο βάθους μέχρι τα $15$ πρώτα. Για $x$ μέτρα βάθους το κόστος θα είναι $200x$ αυξημένο κατά $1500$ ευρώ που είναι το κόστος της εκπόνησης της μελέτης, όταν $0\le x\le 15$. Αν όμως χρειαστεί να ξεπεράσει τα $15$ μέτρα βάθους τότε θα χρειαστεί να πληρώσει $(x-15)250$ για κάθε επιπλέον μέτρο μετά τα $15$ πρώτα και $15\cdot 200+1500=4500$ ευρώ που είναι η χρέωση των $15$ πρώτων μέτρων βάθους. Έτσι σε αυτή την περίπτωση το κόστος θα είναι $(x-15)250+4500$ ευρώ για γεώτρηση $x$ μέτρων βάθους με $x>15$. Οπότε:

1. $f(x)=\{\begin{array}{l}1500+200x\text{,}\text{όταν}0\le x\le 15\\ (x-15)250+4500\text{,}\text{όταν}x>15\end{array}$

2. Για $12$ μέτρα βάθους γεώτρηση το ποσό που θα δαπανήσει είναι $f(12)=1500+200\cdot 12=3900$ ευρώ.

3. Μέχρι τα $15$ μέτρα βάθους το ποσό που χρεώνει η εταιρεία είναι $4500$ ευρώ. Οπότε $x>15$. Έτσι έχουμε $f(x)=5050$ ή $(x-15)250+4500=5050$ ή $x=17,2$.

β) $g(x)=300x$ με $x>0$.

γ) Δίνεται ότι για ίδια μέτρα βάθους πλήρωσαν το ίδιο ποσό. Αναζητούμε τιμή του $x$ ώστε να ισχύει $f(x)=g(x)$ ή $1500+200x=300x\iff x=15$ δεκτή (όταν $0<x\le 15$) ή $(x-15)250+4500=300x\iff x=15$ απορρίπτεται (όταν $x>15$).

Άρα για γεώτρηση βάθους $15$ μέτρων οι δύο εταιρείες χρεώνουν ακριβώς το ίδιο ποσό και δεν υπάρχει άλλη τιμή του $x$ (μέτρα βάθους) για την οποία η χρέωση των δυο εταιρειών, για το ίδιο βάθος, να είναι ίδια.

δ) Για να συμφέρει η επιλογή της εταιρείας ${\rm E}1$ για γεώτρηση $x$ μέτρων βάθους, θα πρέπει το κόστος $f(x)$ να είναι μικρότερο από το αντίστοιχο κόστος $g(x)$ της εταιρείας ${\rm E}2$. Δηλαδή να ισχύει $f(x)<g(x)$, οπότε:

• Για $0<x\le 15$, $1500+200x<300x\iff x>15$ απορρίπτεται.
• Για $x>15$, $(x-15)250+4500<300x\iff x>15$, δηλαδή συμφέρει η επιλογή της εταιρείας ${\rm E}1$ όταν η γεώτρηση έχει περισσότερο από $15$ μέτρα βάθους.