ΛΥΣΗ

α) Από το σχήμα βλέπουμε ότι:
i. τα σημεία τομής των $C_f$ και $C_g$ είναι τα ${\rm A}(1,1)$ και ${\rm B}(3,1)$.
ii. η $C_f$ είναι κάτω από την $C_g$ για $x\in (1,3)$.

β)
i. Οι τετμημένες των σημείων τομής των $C_f$ και $C_g$ είναι οι λύσεις της εξίσωσης:

$$f(x)=g(x)$$ $$\iff |x-2|=1$$

Έχουμε ισοδύναμα:

$$|x-2|=1$$ $$\Rightarrow \{\begin{array}{l}x-2=-1\\ x-2=1\end{array}$$ $$\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}$$

Έχουμε επίσης $f(1)=|1-2|=1=g(1)$ και $f(3)=|3-2|=1=g(3)$, οπότε τα κοινά σημεία των δυο γραφικών παραστάσεων είναι τα ${\rm A}(1,1)$ και ${\rm B}(3,1)$.

ii. Οι τιμές του $x\in \mathbb{R}$ για τις οποίες η $C_f$ είναι κάτω από την $C_g$ είναι λύσεις της ανίσωσης:

$$f(x)<g(x)$$ $$\iff |x-2|<1$$

Έχουμε ισοδύναμα:

$$|x-2|<1$$ $$\iff -1<x-2<1$$ $$\iff 2-1<x<2+1$$ $$\iff 1<x<3$$

δηλαδή η $C_f$ είναι κάτω από την $C_g$ για $x\in (1,3)$.

γ) Η παράσταση ${\rm A}$ ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς αν και μόνο αν:

$$\{\begin{array}{l}1-f(x)\ge 0\\ \text{και}\\ f(x)\ne 0\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}f(x)\le 1\\ \text{και}\\ f(x)\ne 0\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}|x-2|\le 1\\ \text{και}\\ |x-2|\ne 0\end{array}$$ $$\stackrel{(\beta ii)}{\iff }\{\begin{array}{l}1\le x\le 3\\ \text{και}\\ x\ne 2\end{array}$$

Τελικά, η παράσταση ${\rm A}$ ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς για $x\in [1,2)\cup (2,3]$.