ΛΥΣΗ

α) Θέτοντας στην εξίσωση $x^4-8x-9=0$ όπου $x^2=u\ge 0$, γίνεται:

$$u^2-8u-9=0$$

Το τριώνυμο έχει $\alpha =1$, $\beta =-8$, $\gamma =-9$ και διακρίνουσα:

$$\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma =(-8{)}^2-4\cdot 1\cdot (-9)=64+39=100>0$$

Οι ρίζες του είναι οι:

$$u_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha }}$$ $$={\displaystyle \frac{-(-8)\pm \sqrt{100}}{2}}$$ $$=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{8+10}{2}}={\displaystyle \frac{18}{2}}=9>0\text{δεκτή}\\ {\displaystyle \frac{8-10}{2}}={\displaystyle \frac{-2}{2}}=-1<0\text{απορρίπτεται}\end{array}$$

Όμως έχουμε:

$$x^2=u$$ $$\iff x^2=9$$ $$\iff x=\pm \sqrt{9}$$ $$\iff x=\pm 3$$

β) Όπως και στο ερώτημα α), η εξίσωση $x^4-\beta x^2+\gamma =0$, αν θέσουμε όπου $x^2=u$ με $u\ge 0$, ισοδύναμα γίνεται:

$$u^2+\beta u+\gamma =0$$

1. Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα $\Delta ={\beta }^2-4\gamma$, με ${\beta }^2\ge 0$ και $\gamma <0$ οπότε $-\gamma >0$.
   Συνεπώς, $\Delta >0$ ως άθροισμα ενός μη αρνητικού και ενός θετικού αριθμού.

2. Επειδή $\Delta >0$ το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες $u_1,u_2$. Από τους τύπους Vietaτο γινόμενο των ριζών είναι ${\rm P}={\displaystyle \frac{\gamma }{\alpha }}=\gamma <0$. Άρα, οι ρίζες είναι μη μηδενικές και ετερόσημες.
   Έστω:
   $\{\begin{array}{ll}{u}_1<0\text{,}& \text{απορρίπτεται}\\ u_2>0\text{,}& \text{δεκτή}\end{array}$.
   Τότε έχουμε:

$$x^2=u_2$$ $$\iff x=\pm \sqrt{u_2}$$