Θέμα: 33893

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Πηγή: Ι.Ε.Π.	Αναγνώσθηκε: 5169 φορές Επικοινωνία
Μάθημα:	Άλγεβρα	Τάξη:	Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος:	33893	Θέμα:	4
Τελευταία Ενημέρωση:	03-Νοε-2023	Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33893
Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 03-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

α) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς $x$ για τους οποίους ισχύει $|x-4|<2$.
(Μονάδες 7)

β) Θεωρούμε πραγματικό αριθμό $x$ του οποίου η απόσταση από το $4$ πάνω στο άξονα των πραγματικών είναι μικρότερη από $2$.

Να δείξετε ότι $3x-4>0$.
(Μονάδες 5)
Να αποδείξετε ότι η απόσταση του τριπλάσιου του αριθμού $x$ από το $4$ είναι μεγαλύτερη του $2$ και μικρότερη του $14$.
(Μονάδες 5)
Να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνεται η τιμή της απόστασης του $3x$ από το $19$.
(Μονάδες 8)

α) Έχουμε ισοδύναμα:

$$ |x-4|<2 $$ $$\Rightarrow -2 < x-4 < 2$$ $$\Rightarrow 4-2 < x < 2+4$$ $$\Rightarrow 2 < x < 6$$

Άρα $x\in (2,6)$.

β) Πάνω στο άξονα των πραγματικών αριθμών η απόσταση του $x$ από το $4$ είναι μικρότερη από $2$, δηλαδή:

Άρα $2<x<6$.

Έχουμε:

$$2 < x < 6$$ $$\Rightarrow 2\cdot 3 < 3x < 6\cdot 3$$ $$\Rightarrow 6 < 3x < 18$$ $$\Rightarrow 6-4 < 3x-4 < 18-4$$ $$\Rightarrow 2 < 3x-4 < 14$$

και συνεπώς $3x-4>0$.
Θα δείξουμε ότι $2<d(3x,4)<14$.

Ισχύει ότι $d(3x,4)=|3x-4|\overset{(i)}{=}3x-4$. Από το βi) ερώτημα $2<3x-4<14$, οπότε $2<d(3x,4)<14$.
Η απόσταση του $3x$ από το $19$ συμβολίζεται $d(3x,19)=|3x-19|$.
Από το βi) ερώτημα έχουμε $2<3x-4<14$ οπότε αφαιρούμε από τα μέλη της ανίσωσης $15$ και έχουμε: $-13<3x-19<-1$, δηλαδή $3x-19<0$. Οπότε $d(3x,19)=|3x-19|=-3x+19$.
Έχουμε $-13<3x-19<-1$, δηλαδή $13>-3x+19>1$ οπότε $1<d(3x,19)<13$.