ΛΥΣΗ

α) Το εμβαδόν του ορθογωνίου με διαστάσεις $\alpha$ και $\beta$ είναι:

$${\rm E}=\alpha \cdot \beta (1)$$

Οι αριθμοί $\alpha$, ${\rm E}$, $\beta$, με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν ${{\rm E}}^2=\alpha \cdot \beta$, οπότε λόγω $(1)$:

$${{\rm E}}^2={\rm E}$$

Δηλαδή:

$${{\rm E}}^2-{\rm E}=0$$

Οπότε:

$${\rm E}({\rm E}-1)=0$$

Και επειδή ${\rm E}\ne 0$:

$${\rm E}=1$$

β)

1. Το άθροισμα των ριζών της ζητούμενης εξίσωσης είναι $S=\alpha +\beta =10$ και το γινόμενο των ριζών είναι $P=\alpha \beta ={\rm E}=1$. Άρα μια εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες $\alpha$ και $\beta$ είναι η:

$$x^2-Sx+P=0$$ $$\iff x^2-10x+1=0$$

2. Το τριώνυμο $x^2-10x+1$ έχει διακρίνουσα $\Delta =(-10{)}^2-4\cdot 1\cdot 1=96>0$, οπότε η εξίσωση $x^2-10x+1=0$ έχει δύο ρίζες διαφορετικές, τις:

$$x_1={\displaystyle \frac{-(-10)-\sqrt{96}}{2}}$$ $$={\displaystyle \frac{10-\sqrt{16\cdot 6}}{2}}$$ $$={\displaystyle \frac{10-4\sqrt{6}}{2}}$$ $$=5-2\sqrt{6}>0$$

$$x_2={\displaystyle \frac{-(-10)+\sqrt{96}}{2}}$$ $$={\displaystyle \frac{10+\sqrt{16\cdot 6}}{2}}$$ $$={\displaystyle \frac{10+4\sqrt{6}}{2}}$$ $$=5+2\sqrt{6}>0$$

Άρα οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι $\alpha =5-2\sqrt{6}$ και $\beta =5+2\sqrt{6}$.