ΛΥΣΗ

α) Ισχύει ότι $x+y=10\iff y=10-x$. Εφόσον $x$ και $y$ είναι πλευρές τριγώνου, πρέπει:

$$\{\begin{array}{l}x>0\\ y>0\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}x>0\\ 10-x>0\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}x>0\\ x<10\end{array}$$ $$\iff 0<x<10,\text{δηλαδή}x\in (0,10)$$

Οπότε το εμβαδόν του ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ τριγώνου είναι:
${\rm E}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\rm A}{\rm B}\cdot {\rm A}\Gamma$, δηλαδή:
${\rm E}(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}x(10-x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(-x^2+10x)$, με πεδίο ορισμού το διάστημα $(0,10)$.

β) Έχουμε:

$${\rm E}(x)\le {\displaystyle \frac{25}{2}}$$ $$\iff {\displaystyle \frac{1}{2}}(-x^2+10x)\le {\displaystyle \frac{25}{2}}$$ $$\iff -x^2+10x-25\le 0$$ $$\iff x^2-10x+25\ge 0$$ $$\iff (x-5{)}^2\ge 0,\text{που ισχύει για κάθε}x\in (0,10)$$

γ) Το εμβαδόν ${\rm E}(x)$ γίνεται μέγιστο αν και μόνο αν:

$${\rm E}(x)={\displaystyle \frac{25}{2}}$$ $$\stackrel{(\beta )}{\iff }(x-5{)}^2=0$$ $$\iff x=5$$

Για $x=5$, είναι και $y=10-x=10-5=5$, οπότε ${\rm A}{\rm B}={\rm A}\Gamma =5$ και το τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.