ΛΥΣΗ

α) Η εφαπτομένη στο σημείο $\Gamma$ του κύκλου, η $\Gamma \Delta$, είναι κάθετη στην ακτίνα ${\rm O}\Gamma$, άρα $\widehat{O\Gamma \Delta }$ = ${90}^0$. Οπότε το τρίγωνο $\Gamma {\rm O}\Delta$ είναι ορθογώνιο.

Είναι ${\rm O}{\rm A}={\rm O}\Gamma$ ως ακτίνες του κύκλου, άρα το τρίγωνο ${\rm A}{\rm O}\Gamma$ είναι ισοσκελές με βάση την πλευρά ${\rm A}\Gamma$, οπότε οι γωνίες οι προσκείμενες στη βάση του ${\rm A}\Gamma$ θα είναι ίσες, δηλαδή $\widehat{O\Gamma {\rm A}}$ = $\widehat{O{\rm A}\Gamma }$ = ${30}^0$.

Στο τρίγωνο ${\rm A}{\rm O}\Gamma$ η γωνία $\widehat{\Gamma {\rm O}\Delta }$ είναι εξωτερική του, οπότε θα ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του, δηλαδή $\widehat{\Gamma {\rm O}\Delta }=\widehat{O\Gamma {\rm A}}+\widehat{O{\rm A}\Gamma }={30}^0+{30}^0={60}^0$.

β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\Gamma {\rm O}\Delta$ με ορθή τη γωνιά του $\widehat{O\Gamma \Delta }$ (από α) ερώτημα), οι οξείες γωνίες του $\widehat{\Gamma {\rm O}\Delta }$ και $\widehat{\Gamma \Delta {\rm O}}$ είναι συμπληρωματικές, δηλαδή ισχύει $\widehat{\Gamma {\rm O}\Delta }+\widehat{\Gamma \Delta {\rm O}}={90}^0$. Επειδή είναι $\widehat{\Gamma {\rm O}\Delta }={60}^0$, άρα $\widehat{\Gamma \Delta {\rm O}}={90}^0-{60}^0$ ή $\widehat{\Gamma \Delta {\rm O}}={30}^0$.

γ) Το τρίγωνο $\Gamma {\rm O}\Delta$ είναι ορθογώνιο (από α) ερώτημα) και η γωνία του $\widehat{\Gamma \Delta {\rm O}}$ είναι ίση με ${30}^0$ (από το β) ερώτημα), οπότε η απέναντι της πλευρά, δηλαδή η ${\rm O}\Gamma$ θα είναι ίση με το μισό της υποτείνουσάς του ${\rm O}\Delta$, δηλαδή θα ισχύει ${\rm O}\Gamma ={\displaystyle \frac{{\rm O}\Delta }{2}}$ ή ${\rm O}\Delta =2{\rm O}\Gamma =2R$, αφού η ${\rm O}\Gamma$ είναι ακτίνα του κύκλου.