ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(x^{2}-x+(λ-λ^{2})\) έχει \(α=1\), \(β=-1\), \(γ=λ-λ^{2}\) και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (λ-λ^{2})$$ $$=1-4λ+4λ^{2}$$ $$=(1-2λ)^{2}\ge 0$$

Επειδή \(Δ\ge 0\), για κάθε \(λ\in \mathbb{R}\) το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες.

β) Το τριώνυμο έχει δύο πραγματικές ρίζες ίσες αν και μόνο αν:

$$Δ=0 $$ $$\Leftrightarrow (1-2λ)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow 1-2λ=0 $$ $$\Leftrightarrow λ=\dfrac{1}{2}$$

γ)
i. Η σχέση \(x_{1}<\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}<x_{2}\) ισοδύναμα γράφεται:

$$(x_{1} < \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\ \ \text{και}\ \ \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2} < x_{2}) $$ $$\Leftrightarrow (2x_{1} < x_{1}+x_{2}\ \ \text{και}\ \ x_{1}+x_{2} < 2x_{2}) $$ $$\Leftrightarrow x_{1} < x_{2}$$

που ισχύει από υπόθεση.

iii. Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Είναι:

$$f(x_{2})=0, f(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2})<0\ \ \text{και}\ \ f(x_{2}+1)>0$$

Άρα:

$$f(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}) < f(x_{2}) < f(x_{2}+1)$$