ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $x^2-x+(\lambda -{\lambda }^2)$ έχει $\alpha =1$, $\beta =-1$, $\gamma =\lambda -{\lambda }^2$ και διακρίνουσα:

$$\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma$$ $$=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (\lambda -{\lambda }^2)$$ $$=1-4\lambda +4{\lambda }^2$$ $$=(1-2\lambda {)}^2\ge 0$$

Επειδή $\Delta \ge 0$, για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$ το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες.

β) Το τριώνυμο έχει δύο πραγματικές ρίζες ίσες αν και μόνο αν:

$$\Delta =0$$ $$\iff (1-2\lambda {)}^2=0$$ $$\iff 1-2\lambda =0$$ $$\iff \lambda ={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

γ)
i. Η σχέση $x_1<{\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}<x_2$ ισοδύναμα γράφεται:

$$(x_1<{\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}\text{και}{\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}<x_2)$$ $$\iff (2x_1<x_1+x_2\text{και}{x}_1+x_2<2x_2)$$ $$\iff x_1<x_2$$

που ισχύει από υπόθεση.

iii. Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Είναι:

$$f(x_2)=0,f({\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}})<0\text{και}f(x_2+1)>0$$

Άρα:

$$f({\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}})<f(x_2)<f(x_2+1)$$