ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $x^2-x+(\lambda -{\lambda }^2)$ έχει $\alpha =1$, $\beta =-1$, $\gamma =\lambda -{\lambda }^2$ και διακρίνουσα:

$$\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma$$ $$=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (\lambda -{\lambda }^2)$$ $$=1-4\lambda +4{\lambda }^2$$ $$=(1-2\lambda {)}^2\ge 0,\text{για κάθε}\lambda \in \mathbb{R}$$

Επειδή $\Delta \ge 0$, για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$, η εξίσωση $x^2-x+\lambda -{\lambda }^2$ = 0 έχει πραγματικές ρίζες.

β) Η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες αν και μόνο αν:

$$\Delta >0$$ $$\iff (1-2\lambda {)}^2>0$$ $$\iff 1-2\lambda \ne 0$$ $$\iff \lambda \ne {\displaystyle \frac{1}{2}}$$

γ) Οι ρίζες της εξίσωσης $(1)$ είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-(-1)\pm \sqrt{(1-2\lambda {)}^2}}{2}}$$ $$={\displaystyle \frac{1\pm (1-2\lambda )}{2}}$$ $$=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1+1-2\lambda }{2}}=1-\lambda \\ {\displaystyle \frac{1-1+2\lambda }{2}}=\lambda \end{array}$$

Έχουμε ότι:

$$0<d(x_1,x_2)<2$$ $$\iff 0<|x_1-x_2|<2$$ $$\iff 0<|1-\lambda -\lambda |<2$$ $$\iff 0<|1-2\lambda |<2$$

Δηλαδή:

$$0<|1-2\lambda |$$ $$\iff 1-2\lambda \ne 0$$ $$\iff 2\lambda \ne {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ $$\iff \lambda \ne {\displaystyle \frac{1}{2}}$$

και:

$$|1-2\lambda |<2$$ $$\iff -2<1-2\lambda <2$$ $$\iff -3<-2\lambda <1$$ $$\iff -{\displaystyle \frac{1}{2}}<\lambda <{\displaystyle \frac{3}{2}}$$

Οπότε, τελικά:

$$\lambda \in (-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})\cup ({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}})$$