ΛΥΣΗ

α)

1. Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι $\Pi =2\kappa +2\lambda$, οπότε:

$$2\kappa +2\lambda =14$$ $$\iff \kappa +\lambda =7$$

Επίσης, εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Delta$ βρίσκουμε ότι

$${\kappa }^2+{\lambda }^2={\delta }^2$$ $$\iff {\kappa }^2+{\lambda }^2=25$$

Από την ταυτότητα $(\kappa +\lambda {)}^2={\kappa }^2+2\kappa \lambda +{\lambda }^2$, έχουμε ότι:

$$7^2=25+2\kappa \lambda$$ $$\iff 2\kappa \lambda =49-25$$ $$\iff \kappa \lambda =12$$

Άρα, το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι ${\rm E}=\kappa \lambda =12cm$.

2. Δύο αριθμοί είναι ρίζες της εξίσωσης $x^2-7x+12=0$ αν και μόνο αν έχουν άθροισμα $S=-{\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}=-{\displaystyle \frac{(-7)}{1}}=7$ και γινόμενο $P={\displaystyle \frac{\gamma }{\alpha }}={\displaystyle \frac{12}{1}}=12$. Από το ερώτημα αi) προκύπτει ότι οι διαστάσεις $\kappa$ και $\lambda$ ικανοποιούν τις συνθήκες αυτές, οπότε είναι ρίζες της εξίσωσης.

3. Το τριώνυμο $x^2-7x+12$ έχει διακρίνουσα

$$\Delta =(-7{)}^2-4\cdot 1\cdot 12$$ $$=49-48=1$$

και ρίζες

$$x_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-(-7)\pm \sqrt{1}}{2\cdot 1}}$$ $$=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{7+1}{2}}=4\\ {\displaystyle \frac{7-1}{2}}=3\end{array}$$

Άρα, οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι $3cm$ και $4cm$.

β) Όπως και στο ερώτημα α), oι διαστάσεις ενός ορθογωνίου με περίμετρο $\Pi =14$ και εμβαδόν ${\rm E}$ έχουν άθροισμα $S=7$ και γινόμενο $P={\rm E}$. Άρα, είναι ρίζες της εξίσωσης

$$x^2-7x+E=0$$

Η εξίσωση έχει λύσεις, δηλαδή υπάρχει τέτοιο ορθογώνιο, αν και μόνο αν για τη διακρίνουσα ισχύει

$$\Delta \ge 0$$ $$\iff (-7{)}^2-4\cdot 1\cdot {\rm E}\ge 0$$ $$\iff 49-4{\rm E}\ge 0$$ $$\iff {\rm E}\le {\displaystyle \frac{49}{4}}$$