ΛΥΣΗ

α) Αφού ${\rm A}{\rm E}$ και ${\rm B}{\rm Z}$ είναι κάθετα στη $\Delta \Gamma$, τότε οι γωνίες $\widehat{{\rm A}{\rm E}\Delta }$ και $\widehat{{\rm B}{\rm Z}\Gamma }$ είναι ορθές και τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm E}\Delta$ και ${\rm B}{\rm Z}\Gamma$ είναι ορθογώνια.

Για τις οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου ${\rm A}{\rm E}\Delta$, ισχύει $\widehat{\Delta {\rm A}{\rm E}}+\hat{\Delta }={90}^0$ και αφού $\hat{\Delta }={60}^0$ τότε $\widehat{\Delta {\rm A}{\rm E}}={30}^0$.

Οπότε, η απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας των ${30}^0$ θα ισούται με το μισό της υποτείνουσας ${\rm A}\Delta$, δηλαδή είναι $\Delta {\rm E}={\displaystyle \frac{{\rm A}\Delta }{2}}$.

Ομοίως, στο ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm B}{\rm Z}\Gamma$ θα είναι $\widehat{{\rm Z}{\rm B}\Gamma }={30}^0$ και θα ισχύει ${\rm Z}\Gamma ={\displaystyle \frac{{\rm B}\Gamma }{2}}$.

Επειδή είναι ${\rm A}\Delta ={\rm B}\Gamma$ αφού το ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ είναι ισοσκελές τραπέζιο από την υπόθεση, θα προκύπτει ότι $\Delta E=\Gamma {\rm Z}$

β) Επειδή ${\rm A}{\rm B}\parallel \Gamma \Delta$ και το τμήμα ${\rm A}{\rm E}$ είναι κάθετο στην $\Delta \Gamma$ από την υπόθεση, τότε θα είναι κάθετο και στην παράλληλη της $\Delta \Gamma$, την ${\rm A}{\rm B}$.

Οπότε, το τετράπλευρο ${\rm A}{\rm E}{\rm Z}{\rm B}$ έχει τρείς γωνίες ορθές, τις $\widehat{{\rm A}{\rm E}{\rm Z}},\widehat{{\rm B}{\rm Z}{\rm E}}$ και $\widehat{EAB}$ άρα θα είναι ορθογώνιο.