ΛΥΣΗ

α) Οι αριθμοί $4-x$, $x$, $2$ είναι διαδοχικοί αριθμοί αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν:

$$x={\displaystyle \frac{4-x+2}{2}}$$ $$\iff 2x=6-x$$ $$\iff 3x=6$$ $$\iff x=2$$

β) Οι αριθμοί $4-x$, $x$, $2$ είναι διαδοχικοί αριθμοί γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:

$$x^2=(4-x)\cdot 2$$ $$\iff x^2=8-2x$$ $$\iff x^2+2x-8=0(1)$$

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:

$$\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma$$ $$=2^2-4\cdot 1\cdot (-8)$$ $$=4+32=36>0$$

Άρα η εξίσωση $(1)$ έχει ρίζες τις:

$$x_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha }}$$ $$={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{36}}{2\cdot 1}}$$ $$={\displaystyle \frac{-2\pm 6}{2}}$$ $$=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{-2+6}{2}}=2\\ {\displaystyle \frac{-2-6}{2}}=-4\end{array}$$

γ) Από τα ερωτήματα α) και β) βρίσκουμε $x=2$.