ΛΥΣΗ

α) Οι αριθμοί \(4-x\), \(x\), \(2\) είναι διαδοχικοί αριθμοί αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν:

$$x=\dfrac{4-x+2}{2} $$ $$\Leftrightarrow 2x=6-x $$ $$\Leftrightarrow 3x=6 $$ $$\Leftrightarrow x=2$$

β) Οι αριθμοί \(4-x\), \(x\), \(2\) είναι διαδοχικοί αριθμοί γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:

$$x^{2}=(4-x)\cdot 2 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}=8-2x $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+2x-8=0\ \ \ \ (1)$$

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=2^{2}-4\cdot 1\cdot (-8)$$ $$=4+32=36>0$$

Άρα η εξίσωση \((1)\) έχει ρίζες τις:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-2\pm \sqrt{36}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{-2\pm 6}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{-2+6}{2} =2 \\ \dfrac{-2-6}{2} = - 4 \end{cases}$$

γ) Από τα ερωτήματα α) και β) βρίσκουμε \(x=2\).