ΛΥΣΗ

α) Η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων είναι ορθογώνιο με διαστάσεις:

$$x-(1+1)=x-2$$

και

$$x-(2+2)=x-4$$

Επομένως το εμβαδόν της \(Ε\) εκφράζεται από τη συνάρτηση:

$$Ε(x)=(x-2)(x-4),\ 5\le x\le 10$$

β) Έχουμε ισοδύναμα:

$$Ε(x)=35$$ $$\Rightarrow (x-2)(x-4)=35$$ $$\Rightarrow x^{2}-6x+8=35$$ $$\Rightarrow x^{2}-6x-27=0\ \ \ \ (1)$$

Το τριώνυμο \(x^{2}-6x-27\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=(-6)^{2}-4\cdot 1\cdot (-27)=144>0$$

και συνεπώς η εξίσωση \((1)\) έχει ρίζες τις:

$$x_{1}=\dfrac{-(-6)-12}{2}=\dfrac{-6}{2}=-3$$

και

$$x_{2}=\dfrac{-(-6)+12}{2}=\dfrac{18}{2}=9$$

Επειδή \(5\le x\le 10\), δεκτή είναι η λύση \(x=9\).

Άρα σε ένα τετράγωνο χαρτόνι πλευράς \(9\ cm\), η περιοχή εκτύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν \(35\ cm^{2}\).

γ) Η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν τουλάχιστον \(24\ cm^{2}\), δηλαδή \(Ε(x)\ge 24\). Έχουμε ισοδύναμα:

$$(x-2)(x-4)\ge 24,\ \text{οπότε}$$ $$x^{2}-6x-16\ge 0\ \ \ \ (2)$$

Το τριώνυμο \(x^{2}-6x-16\) έχει διακρίνουσα \(Δ=(-6)^{2}-4\cdot 1\cdot (-16)=100>0\) και ρίζες:

$$x_{1}=\dfrac{-(-6)-10}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2$$

και

$$x_{2}=\dfrac{-(-6)+10}{2}=\dfrac{16}{2}=8$$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Άρα η \((2)\) αληθεύει για \(x\le -2\) ή \(x\ge 8\). Επίσης \(5\le x\le 10\), οπότε με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών

παρατηρούμε ότι οι κοινές λύσεις των ανισώσεων είναι: \(8\le x\le 10\).

Άρα για \(x\in [8,10]\), η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν τουλάχιστον \(24\ cm^{2}\).