ΛΥΣΗ

α) Η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων είναι ορθογώνιο με διαστάσεις:

$$x-(1+1)=x-2$$

και

$$x-(2+2)=x-4$$

Επομένως το εμβαδόν της ${\rm E}$ εκφράζεται από τη συνάρτηση:

$${\rm E}(x)=(x-2)(x-4),5\le x\le 10$$

β) Έχουμε ισοδύναμα:

$${\rm E}(x)=35$$ $$\Rightarrow (x-2)(x-4)=35$$ $$\Rightarrow x^2-6x+8=35$$ $$\Rightarrow x^2-6x-27=0(1)$$

Το τριώνυμο $x^2-6x-27$ έχει διακρίνουσα:

$$\Delta =(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot (-27)=144>0$$

και συνεπώς η εξίσωση $(1)$ έχει ρίζες τις:

$$x_1={\displaystyle \frac{-(-6)-12}{2}}={\displaystyle \frac{-6}{2}}=-3$$

και

$$x_2={\displaystyle \frac{-(-6)+12}{2}}={\displaystyle \frac{18}{2}}=9$$

Επειδή $5\le x\le 10$, δεκτή είναι η λύση $x=9$.

Άρα σε ένα τετράγωνο χαρτόνι πλευράς $9cm$, η περιοχή εκτύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν $35c{m}^2$.

γ) Η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν τουλάχιστον $24c{m}^2$, δηλαδή ${\rm E}(x)\ge 24$. Έχουμε ισοδύναμα:

$$(x-2)(x-4)\ge 24,\text{οπότε}$$ $$x^2-6x-16\ge 0(2)$$

Το τριώνυμο $x^2-6x-16$ έχει διακρίνουσα $\Delta =(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot (-16)=100>0$ και ρίζες:

$$x_1={\displaystyle \frac{-(-6)-10}{2}}={\displaystyle \frac{-4}{2}}=-2$$

και

$$x_2={\displaystyle \frac{-(-6)+10}{2}}={\displaystyle \frac{16}{2}}=8$$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Άρα η $(2)$ αληθεύει για $x\le -2$ ή $x\ge 8$. Επίσης $5\le x\le 10$, οπότε με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών

παρατηρούμε ότι οι κοινές λύσεις των ανισώσεων είναι: $8\le x\le 10$.

Άρα για $x\in [8,10]$, η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν τουλάχιστον $24c{m}^2$.