Θέμα: 36650

Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Πηγή: Ι.Ε.Π.	Αναγνώσθηκε: 4141 φορές Επικοινωνία
Μάθημα:	Άλγεβρα	Τάξη:	Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος:	36650	Θέμα:	4
Τελευταία Ενημέρωση:	13-Νοε-2023	Ύλη:	4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36650
Ύλη:	4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Αρχείο Εκφώνησης (PDF) Αρχείο Εκφώνησης (DOC)

ΘΕΜΑ 4

Ο ιδιοκτήτης ενός ταξιδιωτικού γραφείου εκτιμά ότι, όταν για μια συγκεκριμένη διαδρομή διαθέτει τα εισιτήρια στην κανονική τιμή των $21 €$ ανά εισιτήριο, τότε πουλά κατά μέσο όρο $30$ μόνο εισιτήρια, ενώ το λεωφορείο έχει $51$ θέσεις.

Θέλοντας να αυξήσει την πελατεία του, κάνει την ακόλουθη προσφορά: Ο πρώτος επιβάτης που θα αγοράσει εισιτήριο θα πληρώσει $3 €$ και κάθε επόμενος επιβάτης να πληρώνει $0, 5 €$ περισσότερα από τον προηγούμενο.

α) Να βρείτε πόσο θα πληρώσει ο δεύτερος, ο τρίτος και ο τέταρτος επιβάτης.
(Μονάδες 4)

β) Αν, για κάθε $ν \leq 51$ ο αριθμός $α_{ν}$ εκφράζει το ποσό που θα πληρώσει ο ν-οστός επιβάτης, να δείξετε ότι οι αριθμοί $α_{1}, α_{2}, . . ., α_{51}$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να βρείτε τη διαφορά $ω$ της προόδου.
(Μονάδες 6)

γ) Αν το λεωφορείο γεμίσει, να βρείτε το ποσό που θα πληρώσει ο $51 ο ς$ επιβάτης.
(Μονάδες 7)

δ) Να βρείτε πόσα τουλάχιστον εισιτήρια θα πρέπει να πουληθούν ώστε η είσπραξη του γραφείου με αυτή την προσφορά να ξεπερνά την είσπραξη που θα έκανε αν πουλούσε $30$ εισιτήρια στην τιμή των $21 €$ ανά εισιτήριο.
(Δίνεται: $\sqrt{10201} = 101$ )
(Μονάδες 8)

Εμφάνιση Απάντησης

Αρχείο Απάντησης (PDF) Αρχείο Απάντησης (DOC)

ΛΥΣΗ

Ο πρώτος επιβάτης που θα αγοράσει εισιτήριο θα πληρώσει $3 €$ και κάθε επόμενος επιβάτης θα πληρώνει $0, 5 €$ περισσότερο από τον προηγούμενο.

α) Ο δεύτερος επιβάτης θα πληρώσει $3 + 0, 5 = 3, 5 €$ , ο τρίτος θα πληρώσει $3, 5 + 0, 5 = 4 €$ και ο τέταρτος θα πληρώσει $4 + 0, 5 = 4, 5 €$ .

β) Δεδομένου ότι ο πρώτος επιβάτης που θα αγοράσει εισιτήριο θα πληρώσει $3 €$ και κάθε επόμενος επιβάτης θα πληρώνει $0, 5 €$ περισσότερο από τον προηγούμενο, οι αριθμοί $α_{1}, α_{2}, . . ., α_{51}$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με $α_{1} = 3$ και $ω = 0, 5$ .

γ) Ο $51 ο ς$ επιβάτης θα πληρώσει $α_{51} = 3 + (51 - 1) \cdot 0, 5 = 28 €$ .

δ) Ζητάμε την μικρότερη τιμή του φυσικού αριθμού $ν$ ώστε $S_{ν} > 30 \cdot 21$ . Είναι:

$S_{ν} > 30 \cdot 21$ $\Leftrightarrow \frac{ν}{2} [2 \cdot 3 + (ν - 1) \cdot 0, 5] > 630$ $\Leftrightarrow \frac{ν}{2} (6 + \frac{ν - 1}{2}) > 630$ $\Leftrightarrow \frac{ν}{2} (\frac{12 + ν - 1}{2}) > 630$ $\Leftrightarrow \frac{ν (ν + 11)}{4} > 630$ $\Leftrightarrow ν^{2} + 11 ν - 2520 > 0 (1)$

Το τριώνυμο $ν^{2} + 11 ν - 2520 > 0$ έχει διακρίνουσα:

$Δ = 11^{2} - 4 (- 2520) = 10201$

και ρίζες τους αριθμούς $ν = 45$ , $ν = - 56$ που απορρίπτεται.

Επομένως η ανίσωση $(1)$ έχει λύση κάθε θετικό ακέραιο $ν$ με $ν > 45$ , οπότε για να συμφέρει η προσφορά πρέπει να πουληθούν τουλάχιστον $46$ εισιτήρια.