ΛΥΣΗ

α) H συνάρτηση ορίζεται μόνο όταν:

$$9-x^2>0$$ $$\iff x^2<9$$ $$\iff |x|<3$$ $$\iff -3<x<3$$

Άρα, $A_f=(-3,3)$.

β) Η $C_f$ τέμνει τον άξονα $x^{\prime }x$ μόνο όταν για κάποιο $x\in A_f$ ισχύει $f(x)=0$. Είναι:

$$f(x)=0$$ $$\iff {\displaystyle \frac{x+2}{\sqrt{9-x^2}}}=0$$ $$\iff x+2=0$$ $$\iff x=-2$$

Επομένως η $C_f$ τέμνει τον άξονα $x^{\prime }x$ στο σημείο $A(-2,0)$.

Επίσης έχουμε:

$$f(0)={\displaystyle \frac{0+2}{\sqrt{9-0}}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$$

Άρα η $C_f$ τέμνει τον άξονα $y^{\prime }y$ στο σημείο $B(0,{\displaystyle \frac{2}{3}})$.

γ) Έστω $(\epsilon ):y=\alpha x+\beta$ η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α, Β είναι:

$$\alpha ={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}$$ $$={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{3}}-0}{0-(-2)}}$$ $$={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{3}}}{2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$

Άρα η εξίσωση της ευθείας γράφεται:

$$(\epsilon ):y={\displaystyle \frac{1}{3}}x+\beta$$

Επιπλέον η ευθεία διέρχεται από το σημείο ${\rm A}(-2,0)$, οπότε οι συντεταγμένες του Α την επαληθεύουν. Έτσι, έχουμε:

$$0={\displaystyle \frac{1}{3}}(-2)+\beta$$ $$\iff \beta -{\displaystyle \frac{2}{3}}=0$$ $$\iff \beta ={\displaystyle \frac{2}{3}}$$

Επομένως η εξίσωση της ευθείας είναι $(\epsilon ):y={\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{2}{3}}$.