ΛΥΣΗ

α) Tο εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου ${\rm A}$ είναι $E_A=d^{2}c{m}^2$.

Tο εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου ${\rm B}$ είναι $E_B=(d+1{)}^{2}c{m}^2$.

β)

1. Αν το εμβαδόν της επιφάνειας είναι ${\rm E}$, τότε ισχύει:

   $$E=200d^2$$

   και:

   $$E=128(d+1{)}^2$$

   οπότε έχουμε:

   $$200d^2=128(d+1{)}^2$$ $$\iff 25d^2=16(d+1{)}^2$$ $$\iff 25d^2=16(d^2+2d+1)$$ $$\iff 25d^2=16d^2+32d+16$$ $$\iff 9d^2-32d-16=0$$

   Η τελευταία εξίσωση έχει διακρίνουσα:

   $$\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma$$ $$=(-32{)}^2-4\cdot 9\cdot (-16)$$ $$=1024+576$$ $$=1600={40}^2$$

   και ρίζες τους αριθμούς $d_1=4$ και $d_2=-{\displaystyle \frac{4}{9}}$. Η λύση $d_2=-{\displaystyle \frac{4}{9}}$ απορρίπτεται, αφού το μήκος της πλευράς είναι θετικός αριθμός. Άρα $d=4$, οπότε κάθε πλακάκι τύπου ${\rm A}$ έχει πλευρά $4$ και κάθε πλακάκι τύπου ${\rm B}$ έχει πλευρά $5$.

2. Είναι:

   $$E=200d^2$$ $$=200\cdot 4^2$$ $$=200\cdot 16$$ $$=3.200c{m}^2$$