ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $2x^2-3x+1$ έχει διακρίνουσα:

$$\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma$$ $$=(-3{)}^2-4\cdot 2\cdot 1=1>0$$

και ρίζες τις:

$$x_1={\displaystyle \frac{-\beta -\sqrt{\Delta }}{2\alpha }}$$ $$={\displaystyle \frac{-(-3)-1}{2\cdot 2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

και:

$$x_2={\displaystyle \frac{-\beta +\sqrt{\Delta }}{2\alpha }}$$ $$={\displaystyle \frac{-(-3)+1}{2\cdot 2}}=1$$

β) Από τον παρακάτω πίνακα προσήμουτου τριωνύμου $2x^2-3x+1$, παρατηρούμε ότι οι τιμές του $x$ για τις οποίες $2x^2-3x+1<0$, είναι $x\in ({\displaystyle \frac{1}{2}},1)$.

γ) Ο αριθμός ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ δεν είναι λύση της ανίσωσης $2x^2-3x+1<0$, διότι ${\displaystyle \frac{3}{2}}\notin ({\displaystyle \frac{1}{2}},1)$ αφού ${\displaystyle \frac{3}{2}}>1$.

Για τον αριθμό ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ έχουμε:

$${\displaystyle \frac{1}{2}}<{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}<1$$ $$\iff {\displaystyle \frac{1}{4}}<{\displaystyle \frac{3}{4}}<1$$

που ισχύει.

Άρα ο αριθμός ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ είναι λύση της ανίσωσης $2x^2-3x+1<0$.