ΛΥΣΗ

α) Έχουμε ισοδύναμα:

$$\left|{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}\right|+\left|{\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}\right|\ge 2$$ $$\iff {\displaystyle \frac{|\alpha |}{|\beta |}}+{\displaystyle \frac{|\beta |}{|\alpha |}}\ge 2$$ $$\iff {\displaystyle \frac{|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2}{|\alpha |\cdot |\beta |}}\ge 2$$ $$\iff |\alpha {|}^2+|\beta {|}^2\ge 2|\alpha |\cdot |\beta |$$ $$\iff |\alpha {|}^2+|\beta {|}^2-2|\alpha |\cdot |\beta |\ge 0$$ $$\iff (|\alpha |-|\beta |{)}^2\ge 0\text{που ισχύει}$$

β) Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν:

$$|\alpha |-|\beta |=0$$ $$\iff |\alpha |=|\beta |$$

δηλαδή αν και μόνο αν $\alpha =\beta$ ή $\alpha =-\beta$ (δηλαδή όταν οι αριθμοί $\alpha$, $\beta$ είναι ίσοι ή αντίθετοι).