ΛΥΣΗ

α) Οι τετμημένες των σημείων τομής των $C_f$, $C_g$ αποτελούν λύσεις της εξίσωσης $f(x)=g(x)$. Τότε:

$$f(x)=g(x)$$ $$\iff x^2+3x+2=x+1$$ $$\iff x^2+2x+1=0$$ $$\iff (x+1{)}^2=0$$ $$\iff x+1=0$$ $$\iff x=-1$$

Άρα οι $C_f$, $C_g$ έχουν μόνο ένα κοινό σημείο, το $A(-1,g(-1))$ δηλαδή το $A(-1,0)$. (η ευθεία εφάπτεται της παραβολής).

β) Οι τετμημένες των κοινών σημείων των $C_f$, $C_h$ είναι λύσεις της εξίσωσης $f(x)=h(x)$. Δηλαδή:

$$f(x)=h(x)$$ $$\iff x^2+3x+2=x+a$$ $$\iff x^2+2x+(2-a)=0,a\in \mathbb{R}(1)$$

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:

$$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot (2-a)$$ $$=4-8+4a$$ $$=4a-4$$ $$=4(a-1)$$

1. Αν $a>1$ τότε $\Delta >0$ και η εξίσωση $(1)$ έχει δύο ρίζες άνισες το οποίο σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις των $f$, $h$ έχουν δύο κοινά σημεία.
2. Αν $a<1$ τότε $\Delta <0$ και η εξίσωση $(1)$ δεν έχει πραγματικές ρίζες το οποίο σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις των $f$, $h$ δεν έχουν κοινά σημεία.